Cát tuyến là gì? Là một phần kiến thức quan trọng của Toán học 9, được sử dụng để chỉ một đường thẳng cắt đường thẳng khác. Để hiểu rõ về khái niệm, tính chất, cách vẽ cát tuyến quý bạn đọc đừng bỏ qua bất kỳ nội dung thông tin nào dưới đây.
Nội dung bài viết
Cát tuyến là gì? Cát tuyến đường tròn là gì?
Cát tuyến là một từ Hán – Việt, cát có nghĩa là cắt, tuyến có nghĩa là đường thẳng nên cát tuyến có nghĩa là một đường thẳng cắt các đường khác có thể là đường thẳng, đường tròn, đường cong,..
Theo khái niệm trong SGK Toán 9, cát tuyến là một đường thẳng cắt một đường thẳng khác. Cát tuyến đường tròn là một đường thẳng cắt đường tròn đó tại 2 điểm phân biệt. Cát tuyến của 2 đường thẳng là 1 đường thẳng cắt hai đường thẳng trên. Trong một số trường hợp cát tuyến đi qua tâm đường tròn.
Tính chất của cát tuyến
Cho một đường tròn tâm O với 2 đường thẳng AB, CD. Ta có:
- Nếu 2 đường thẳng chứa AB, CD của một đường tròn tại điểm M thì MA.MB = MC.MD
- Nếu 2 đường thẳng AB, CD cắt nhau tại M thì MA.MB =MC. MD thì 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
- Nếu MC là tiếp tuyến và MAB là cát tuyến thì MC² = MA. MB = MO² – R²
- Từ 1 điểm K nằm bên ngoài đường tròn ta lần lượt kẻ các tiếp tuyến KA, KB, cát tuyến KCD. H là trung điểm của CD thì 5 điểm K, A, H, O, B nằm trên 1 trung điểm.
- Từ điểm K nằm ngoài đường tròn ta kẻ các tiếp tuyến KA, KA với cát truyến KCD thì AC/AD = BC/BD. Ta có, góc KAC = góc ADK => AC/AD = KC/KA.
Hình chóp là gì? Công thức chu vi, diện tích, thể tích hình chóp
Hướng dẫn cách vẽ cát tuyến
Cách vẽ cát tuyến của đường tròn, đường cong
Bước 1: Xác định hai điểm bất kỳ trên đường tròn, đường cong đó
Bước 2: Dùng bút kẻ một đường thẳng đi qua 2 điểm trên là ta đã có cát tuyến của đường tròn, đường cong.
Cách vẽ cát tuyến bất kỳ của 2 đường thẳng
Cách vẽ cũng tương tự như vẽ cát tuyến của đường tròn, đường cong, thực hiện như sau:
Bước 1: Từ 2 đường thẳng ta xác định hai điểm bất kỳ thuộc 2 đường thẳng đó.
Bước 2: Kẻ một đường thẳng đi qua 2 điểm đó là ta đã có cát tuyến của hai đường thẳng.
Đường trung trực là gì? Tính chất, bài tập về đường trung trực
Một số bài tập về cát tuyến
Bài tập 1: Từ 1 điểm M nằm ngoài đường tròn (O) bạn hãy vẽ 1 đường cát tuyến MCD không đi qua tâm đường tròn O và có hai tiếp tuyến lần lượt là MA và MB đến đường tròn (O). Ở đây A, B chính là các tiếp điểm và điểm C sẽ nằm giữa M, D.
- Chứng minh bất đẳng thức sau : MA.MA = MC.MD
- Gọi I chính là trung điểm của đoạn thẳng CD. Hãy chứng minh rằng 4 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên 1 đường tròn.
- Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng HB và MO. Hãy chứng minh rằng tứ giác CHOD là tứ giác nội tiếp với đường tròn (O) và HB là đường phân giác của góc CHD.
- Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến lần lượt tại hai điểm C và D của đường tròn (O). Hãy chứng minh rằng 3 điểm A, B, K sẽ cùng nằm trên một đường thẳng.
Gợi ý đáp án
- Vì MA chính là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có:
Góc MAC bằng Góc MDA suy ra ΔMAC ~ ΔMDA (g.g)
=> MA/MD sẽ bằng MC/MA suy ra MA.MA bằng MC.MD
- Vì I là trung điểm của CD nên suy ra
Góc MIO = 90 độ và bằng với góc MAO và góc MBO. Từ những điểm trên ta có thể kết luận được M, A, O, I, B sẽ cùng thuộc trên 1 đường tròn.
- Vì ta có đoạn MA vuông góc với đoạn OA, đoạn OM vuông góc với đoạn OB tại điểm H. Suy ra MH.MO bằng MA.MA bằng MC.MD
=> MA/MD bằng MC/MA -> ΔMHC ~ ΔMDC -> Góc MHC bằng với góc MDO.
=> Tứ giác HDCO là tứ giác nội tiếp của đường tròn tâm O.
=> Góc OHD bằng góc OCD bằng góc ODC bằng góc MHC
Ta có 90 độ – góc MHC = 90 độ – góc OHD sau ra góc CHB bằng với góc BHD
Từ đó ta có thể kết luận rằng: đoạn HB chính là phân giác của góc CHD.
- Ta có HB là phân giác của góc CHD
Vì KC, KD lần lượt là hai đường tiếp tuyến của đường tròn (O) suy ra KCOD là tứ giác nội tiếp đường tròn (O) mà HOCD lại là tứ giác nội tiếp (chứng minh trên). Như vậy suy ra 4 điểm K, C, H, O, D phải cùng nằm trên 1 đường tròn.
Mà lại có HK là phân giác của góc CHD do KC sẽ bằng KD
=> 3 điểm A, B, K phải thẳng hàng.
Bài tập 2: Từ một điểm K nằm bên ngoài đường tròn, ta kẻ các tiếp tuyến lần lượt là KA, KB và kẻ thêm cát tuyến KCD đến đường tròn (O). Gọi M chính là giao điểm của OK và AB. Vẽ dây DI đi qua M. Hãy chứng minh rằng:
- KIOD là một hình tứ giác nội tiếp.
- KO chính là phân giác của góc IKD.
Gợi ý đáp án
Bài tập 3: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) hãy vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O). Ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D.
- CM: MA.MA = MC.MD.
- Gọi I là trung điểm của CD. CMR: M, A, O, I, B cùng nằm trên 1 đường tròn.
Gợi ý đáp án
- Có MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) (giả thiết)
=> góc MAC = góc MDA → △ MAC ~ △ MDA (g.g)
=> MAMD=MCMA (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
=> MA²= MC.MD (đpcm)
- Có I là trung điểm của CD (giả thiết)
=> Góc MIO = 90 độ = góc MAO = MBO
=> 4 điểm M, A, O, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO.
Với các thông tin có trong bài viết “Cát tuyến là gì? Tính chất, cách vẽ cát tuyến và bài tập” hy vọng sẽ giúp ích với bạn. Truy cập ruaxetudong.org để cập nhật thêm nhiều thông tin khác về Toán học.
